在以下情况下，老师有权开除学生：

违反宪法，反对四项基本原则、破坏安定团结、扰乱社会秩序的；

触犯国家法律，构成刑事犯罪的；

违反治安管理规定受到处罚，性质恶劣的；

由他人代替考试、替他人参加考试、组织作弊、使用通讯设备作弊及其他作弊行为严重的。

需要注意的是，对于义务教育阶段的学生，学校通常没有开除学生的权利，只能进行批评教育或劝退。高中及以后的学生，在符合上述条件的情况下，学校可以开除学生。

此外，老师在日常教学和管理中应严格遵守法律规定，不得随意开除学生。开除学生是一个严肃的决定，需要遵循相关法律和校规，并且要确保学生的受教育权利不受侵犯。